• ↓
  • ↑
  • ⇑
 
Записи с темой: $a_{i,\sigma(i)}$ (список заголовков)
22:27 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Куклев попросил записать слова «полиамонд» и «полиаболо». Возможно, они нам пригодятся, если мы захотим написать документацию так, чтобы её никто не понял.

Полимино (или полиомино, англ. polyomino): многоугольник, состоящий из нескольких одинаковых квадратов, составленных сторонами, как костяшка для игры в домино составлена из двух квадратов.

Полигекс: то же, но не из квадратов, а из правильных шестиугольников.

Полиамонд (англ. polyiamond, зацените yia; я бы скорее перевёл как полилмаз или полииамант): то же, но из правильных треугольников.

Полиаболо: то же, но из равнобедренных прямоугольных треугольников, составленных катет к катету, а гипотенуза к гипотенузе.

Также. Поликонь (англ. polyknight): фигура из квадратиков, не обязательно связная, которую может обойти конь. Поликороль (англ. polyking): аналогично для короля.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

03:07 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Наштовхнувся нещодавно на обговорення коду на кшталт random()+random()+random(). Деякі коментатори гигикали: «один random() комусь недостатньо випадковий, треба більше випадковості».

Невтямки їм було, що сума незалежних випадкових величин розподілена як згортка (англ. convolution) їхніх розподілів. Якщо random() генерує випадкові значення, розподілені рівномірно, то сума декількох таких значень буде розподілена вже зовсім інакше. Справді:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x1, x2, x3 = [np.random.random(size=500000) for __ in range(3)]
plt.style.use('bmh')

plt.hist(x1, bins=50, normed=True)

зображення

plt.hist(x1+x2, bins=50, normed=True)

зображення

plt.hist(x1+x2+x3, bins=50, normed=True)



зображення

Розподіл суми ен незалежних випадкових величин, кожна з яких має рівномірний розподіл, зветься розподілом Ірвіна-Гола (англ. Irwin-Hall distribution). Чим більше ен, тим сильніше цей розподіл нагадує Ґаусів дзвін. Можливо, саме цього автор коду й хотів досягти (хоча дарма він цього ніяк не відобразив у коментарях або в іменах змінних).

@темы: ї, to err is human to arr is pirate, root@глупыйпингвин:~#, $a_{i,\sigma(i)}$

15:07 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
На натуральные числа не существует ГОСТ (или я не нашёл). Зато в Германии на них существует DIN-Norm под номером 5473. Согласно этой норме 0 ∈ ℕ, множество же натуральных чисел без нуля всегда следует обозначать как ℕ*.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

03:15 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
0 0 1 1 4 1 5 1 12 6 7 1 16 1 9 8 32

Задания:

1. Перепишите код на Scheme, но не как напрашивается, а покусывая себя за хвост (вы поняли). Гордитесь.
2. Обобщите арифметическую производную на рациональные числа. Подсказка. Гордитесь ещё сильнее.
3. Для тех, кто что-то понимает в топологии. Докажите или опровергните: граница замкнутого множества является его производной в алгебраическом смысле, если вместо сложения взять объединение множеств, а вместо умножения пересечение множеств. Похвастайтесь всем.
3а. То же, что и в 3, но не пересечение, а декартово произведение.
3б. То же самое, но для любых множеств, а не только замкнутых.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

05:55 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Операция замыкания и операция дополнения на подмножествах некоего множества порождают полугруппу с самое большее четырнадцатью элементами.

Пишут об этом (без доказательства) Steen и Seebach в книжке Counterexamples in topology. Они же приводят такое подмножество вещественных чисел, для которого все четырнадцать разные.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

00:29 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Довольно занудная книга по некоторым дифференциальным уравнениям и способам их решений предваряется следующим эпиграфом:

«Я продвигаюсь, но медленно, и это стоит мне бесконечных и крайне скучных вычислений...»
Софус Ли, письмо А. Майеру, 4-е апреля 1874-го года

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

18:15 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Раз уж вы читаете этот пост, в вашем распоряжении, скорее всего, есть какое-то вычислительное устройство, пригодное для чтения @дневников. А для какого наибольшего натурального n это устройство с имеющимися на нём прямо сейчас программами может вычислить n^(n^n), где ^ есть возведение в степень?

@темы: root@глупыйпингвин:~#, $a_{i,\sigma(i)}$

19:25 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Логлан — искусственный язык, созданный для проверки гипотезы Сепира-Уорфа, подробнее вам расскажет гугль. Вот вам на него задача.

собственно задача

@темы: превед, языковед, $a_{i,\sigma(i)}$

10:12 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Теорема Цекендорфа очень проста по формулировке, но почему-то малоизвестна: любое натуральное число (кроме нуля) можно единственным образом записать в виде суммы некоторой подпоследовательности чисел Фибоначчи, не содержащей пары соседних чисел Фибоначчи и не содержащей первых двух чисел Фибоначчи. Для не сразу врубившихся поясню: 1, 2, 3, 1+3, 5, 1+5, 2+5, 8, 1+8, 2+8, 3+8, 1+3+8, 13, 1+13, 2+13, 3+13, 1+3+13, 5+13, 1+5+13, 2+5+13, 21 и так далее. А кто запутался, тому мягко напомню, что число 1 в последовательности Фибоначчи одновременно и второе, и третье.

Доказательство

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

12:16 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь


Врата Фурье. Скажи преобразование от энной производной по катой координате и входи.

@темы: превед, языковед, $a_{i,\sigma(i)}$

22:53 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Дайте мне какую-нибудь физико-математическую тему и я о ней, возможно, напишу. Только не вида «что там за история со сверхсветовыми нейтрино» или «что такое когомологии де Рама, я прочитал и не понял», а скорее вроде «как вообще что-то может быть волной и частицей одновременно» и «что делать, если ну очень хочется делить на ноль».

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$, эх, дубинушка, ухнем

20:29 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Многие, чуть зайдёт разговор о математике и в нём промелькнёт слово «аксиома», любят сказать: я не признаю аксиом. Прямо представляется — сидит такой человек, подбоченившись, и думает: вот я как всех математиков перехитрил-то, вы все зашорены и захомутаны, а я д'Артаньян и свободомыслец.

У меня это вызывает крайне сложные чувства. Представьте, что кто-то на полном серьёзе говорит «я не признаю резиновых уточек». Во-первых, резиновые уточки, пусть и не каждый день встречаются нам непосредственно, даны нам во вполне конкретных ощущениях и явно не самое зыбкое, что есть в нашем мире. Во-вторых и в главных — нашёл чем гордиться, уточек он не признаёт.

Аксиомы — это игра. Давайте попробуем принять без доказательств такой-то и такой-то набор утверждений. Что получилось? Ага, противоречие. А если вот это утверждение выкинуть? Ага, противоречия теперь нет, но мир из них получается какой-то унылый. А если такое добавить? Ы, какие красоты открываются. А если вот это поменять, что получится? Кхм, на вид вроде хрень, но забавная. А если вернуть самый первый набор и выкинуть из него уже другое утверждение? И так далее.

Разговоры о самоочевидности лишь запутывают, нет никакой самоочевидности (надеюсь, на меня сейчас не набросится стая философов). И не надо. Аксиомы можно выбирать любые, совсем любые, очевидны они кому-то или нет, или даже вовсе, о ужас, неверны (если сравнивать с этим вашим реальным миром). Например, классическая механика основывается, кроме прочего, на предположении, что одновременные для одного наблюдателя события будут одновременными и для любого другого наблюдателя. Как мы знаем, это не так. Однако же мирок классической механики, если никак его экспериментально не тыкать палочкой, получается вполне уютный и, главное, непротиворечивый. И — лишь один из многих.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

00:33 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
В повседневной речи хаос и случайность редко различаются. В математике же это разные вещи. Хаотическая система может быть детерминированной, то есть её поведение будет полностью определяться начальными условиями. Приведу пример.

1. Вот у нас монетка. У неё есть орёл и решка. Возьмём модель попроще: монетка может находиться в трёх состояниях, а именно «лежит на столе решкой вверх», «лежит на столе орлом вверх» и «подброшена». Еcли монетка лежит решкой кверху, она так и будет вечно лежать решкой кверху. Аналогично с орлом. Если же она подброшена, то через некоторое не интересующее нас время неизбежно свалится или в состояние «решка», или в состояние «орёл». В какое из них, мы заранее сказать не можем. Бывает, что монетка сейчас подброшена, а через минуту показывает орла. Бывает, что сейчас подброшена, а через минуту показывает решку. Это случайность.

2. Возьмём модель посложнее. Наша монетка теперь не просто неведомая хрень с тремя состояниями, а очень короткий цилиндрик. Он висит на такой-то высоте под таким-то углом, скорость у него такая-то, а ещё он вращается вокруг такой-то оси с такой-то угловой скоростью. Из сил на него действует лишь гравитация. Поверхность стола предположим абсолютно гладкой, соударение со столом происходит так-то и так-то. Вот тут и начинается веселье. Для начала мы обнаружим, что при таком раскладе монетка может и не завалиться набок, а остаться стоять на ребре. Ну это ладно, это меньшая проблема. Самое интересное начнётся, если мы специально попробуем поставить монетку на ребро в этом вашем реальном мире. Легко вычислить, при каких начальных условиях она останется стоять на ребре. Чуть мы отклонились от этих условий, как монетка падает. Иногда орлом кверху. Иногда решкой. Если мы точно знаем начальное состояние, мы можем точно сказать, орлом или решкой кверху она упадёт. Но мы его не знаем точно. Мы, например, знаем, что наша монетка находится на высоте такой-то плюс-минус миллиметр. А не просто на высоте такой-то. Или что мы её просто взяли и поставили на стол под углом 90° к поверхности. Плюс-минус градус, ага. А малейшее отклонение в начальных условиях даст нам совсем другой результат. Ладно бы она просто падала, так ведь ещё и по-разному падает. Поставили, упала направо. Поставили как могли так же, упала налево. Случайностей тут нет: монетку поместили в такое-то состояние, она пошла по единственно возможному для такого состояния пути и никуда из колеи не денется. При этом система всё равно ведёт себя как сволочь непредсказуемая. Это хаос.

3. Но ведь в этой вашей реальности монетка одна и та же, мы её просто описали по-разному. На самом деле, чтобы обе модели действительно описывали одну и ту же монетку, нужно дополнить первую модель четвёртым состоянием «стоит на ребре». Сделайте это сами, это просто. А чтобы вторая модель описывала настоящую монетку, нужно не забывать, что стол на самом деле не гладкий, кроме гравитации на неё действует ещё дофига всего и тэ дэ. Так случайно себя ведёт эта монетка или нет? Ответ на этот вопрос читателю предлагаю найти самостоятельно.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$, эх, дубинушка, ухнем

21:25 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Очень странно, что нет (или я не встречал) нормальной математической записи для простейших вещей вроде условного оператора. Часто встречающаяся запись



выглядит нелепо, как и любые вкрапления текста прямо посреди формулы. Можете подставить русский, или немецкий, или венгерский, или какое-нибудь гипотетическое



(настоящие китайцы, как я однажды видел, используют скобочки вокруг условия, т.е. 1 (i=j), а как они пишут «иначе», я не знаю)

или (тоже гипотетическое)



Лучше от этого не станет.

Я обычно в таких случаях использую нечто вроде



Скобка Айверсона могла бы помочь (напомню её определение: если P верное утверждение, то [P] = 1, если же P неверное утверждение, то [P]=0). Но, во-первых, её почему-то знает мало народу (впрочем, мою запись не знает и вовсе никто, кроме меня). Во-вторых, чего только не пишут квадратными скобками, а значит, каждый раз придётся пояснять, что это вообще такое. В третьих, я не уверен, что скобками Айверсона можно записать любое ветвление. Если условия взаимоисключающие, а функция, которую мы таким образом записываем, имеет областью значений кольцо с единицей — тогда всё просто: умножаешь скобку для каждого условия на значение, которое выдаст функция при этом условии, потом это всё суммируешь. Но и это уже попахивает брейнфаком. Для других случаев и вовсе неочевидно.

Ну и как же? Не через ?: же его писать.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$, превед, языковед

01:15 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Про очарование и странность как физические термины слышали многие. Немногие слышали, что «почти все», «почти всюду» и «почти наверное» — вполне себе математические термины, означающие «все, кроме конечного количества», «везде, кроме множества с мерой 0» и «с вероятностью 1». Например, почти все натуральные числа больше любого натурального числа; белый лист бумаги, весь исчёрканный чёрными линиями нулевой ширины, почти везде бел, сколько бы этих линий ни было (в этой вашей реальности, впрочем, линии без ширины провести невозможно); а если мы ткнём в такой лист иголкой (тоже нулевой толщины), то почти наверное попадём в белое, а не в линию.

Перед написанием таких постов я обычно сверяюсь с гуглем, как это всё вообще по-русски. Изначально я слышал это на другом языке, и мало ли чего я так слёту наперевожу. «Наверное» вместо «наверняка» и «всюду» вместо «везде» звучат для меня архаично, но, похоже, устоявшиеся термины именно таковы. Для меня совершенно неестественно сказать на автомате «многочлен» или «постоянная» вместо «полином» и «константа», но тут хотя бы допустимы оба варианта. А недавно я поймал себя на произношении «импУльсы», и вот его, кажется, всё-таки в литературном русском нет.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$, превед, языковед

08:16 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
В теории вероятностей главное — знать меру!

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

13:48 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь


Скриншот реален. Работает кнопка криво, но виноват в том не дайри.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$, root@глупыйпингвин:~#

20:02 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Весьма правдоподобная байка говорит, что начертание blackboard bold (не нашёл, как по-русски; речь о вот таком) исторически происходит от попытки написать жирную букву мелом на доске так, чтобы она хорошо отличалась от нежирной (математикам это важно). А уже потом, когда традиция устоялась, начертание перешло и на бумагу.

Немного о другом, но тоже типографическое. Нередко можно прочитать, что в англоязычной литературе интегралы наклонены вперёд (точнее говоря, направо), в немецкой прямые, а в русскоязычной выгнуты назад.
Примеры:
вперёд,
прямо,
назад.

В реальности всё, конечно, не так стройно. Вот передо мной книжка 1982-го года, издана в СССР. Обычные интегралы в ней валятся назад, а замкнутые — вперёд. Видимо, других у наборщика не было. А сейчас они наклонены вперёд вообще везде, потому что так по умолчанию в латехе (и если прямые в нём ещё найти можно, то выгнутые назад — никак).

Интересно, откуда оно такое взялось. У Лейбница, который и придумал знак интеграла, он клонится направо. Что и неудивительно: у него это вообще не отдельный знак, а просто рукописная буква s, сокращение от summa. Её Лейбниц пишет абсолютно так же вытянуто (что для тех времён нормально), только в конце слова она иногда заворачивается кренделём (что тоже нормально: конечная s и s в середине слова тогда ещё различались). А вот как буква стала внезапно отдельным знаком, да ещё и разным в разных странах — загадка.

@темы: превед, языковед, $a_{i,\sigma(i)}$

19:55 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Пост для нематематиков. О том, что всё состоит из пустоты

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

21:37 

Мегакрендель: заколебарь, жаболекарь, зомболекарь, лежебокарь
Одно из помещений гёттингенского Института математики — проходной зал, в который ведут два главных входа — традиционно называют Гильбертовым пространством. По-немецки оно звучит органичнее: Raum — это не только пространство, но и просто помещение. В этом пространстве стоит бюст Гильберта. Иногда на него надевают соломенную шляпу. Сам бюст тёмный, но кончик носа у него светлый, хотя я не видел, чтобы его регулярно тёрли.

Институт динамики и самоорганизации, расположенный неподалёку, местные студенты-математики ласково называют дурдомом. Причины неизвестны.

Но вообще я собирался написать не об этом, а о том, что мне было очень хорошо ездить по понедельникам на мероприятие с обтекаемым названием «пища для ума». Выглядело оно так: собирается кучка студентов-математиков и примазавшихся (вроде меня), добровольцы рассказывают о чём-нибудь (от теории узлов до программирования на брейнфаке), остальные слушают, задают вопросы, пьют кофе или матэ с печеньками. Печеньки на матфаке, кстати, вкуснейшие. А возгласы из зала! «Аксиома выбора — это херня! Полнейшая херня!»

И вот вчера была последняя такая встреча. Надо бы организовать что-то такое же — в последнее время на меня напала тяга организовывать людей, чем я и занимаюсь с переменным успехом — но раньше осени вряд ли.

Ну и вот вам фотография. Не моя. Вот это большое серое слева — матфак, и большое серое справа — он же, и в промежутке между ними тоже он.

@темы: $a_{i,\sigma(i)}$

Эх, разум, да ещё разум

главная